Регистрация
Вход
Пирамида – это объемная многогранная геометрическая фигура, состоящая из основания и треугольных граней, собирающихся в одной точке. У нее есть: вершина, ребра (боковые и основные), боковые грани, основание, высота и апофема – прямая, соединяющая вершину с границей вписанной в основание окружности. Правильная пирамида –та, у которой все боковые ребра равны и находятся под одним углом к основанию, а вершина проецируется на центр окружности, описанной вокруг основания. Тетраэдр – частный случай правильной пирамиды, в которой боковые ребра равны основным и между собой.
Боковые ребра правильной пирамиды – выходящие из ее вершины, общие для боковых граней стороны. Длина бокового ребра обозначается латинской буквой «b». Это одно из базовых значений, через которое можно найти остальные элементы пирамиды. Во многих математических задачах требуется вычислить его или подставить в формулы.
Та часть пространства, которую занимает правильная треугольная пирамида называется ее объемом. Является физической величиной. Его можно найти через, например, через высоту и сторону основания. Если нам известен объем и высота правильной треугольной пирамиды, то не составит особого труда найти ребро основания. Для этого используется формула:
где V — объём, H — высота.
Пример. Рассмотрим конкретную задачу. Необходимо найти ребро основания, зная что высота H равна 56 см, a объем 268 см³, подставив все в формулу получим следующий результат: a = √((V * 4 * √3) / H) = √((268 * 4 * √3) / 56) = 5,76 см. Боковое ребро (b) = 5,76 см.
Боковое ребро правильной пирамиды можно найти по теореме Пифагора, поскольку высота, опущенная в основание пирамиды, опускается в центр вписанной и описанной окружности для данного многоугольника. Таким образом формула для нахождения бокового ребра правильной треугольной пирамиды через высоту и ребро основания будет следующей:
где H — высота, a — ребро основания.
Пример. Рассмотрим конкретные данные. Пусть высота H равна 44 мм, a ребро основания a равно 63 мм, подставив все в формулу получим следующий результат: b = √(H² + (a / 2 sin (60º)²)) = √(44² + (63 / 2 sin (60º)²)) = 57,09 мм. Боковое ребро (b) = 57.08765 мм.
Если пирамида вписана в окружность, то ее называют описанной вокруг пирамиды. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Если нам известна высота и радиус этой описанной окружности, то мы сможем найти боковое ребро. Формула подходит только для правильной треугольной пирамиды:
где H — высота правильной треугольной пирамиды, R — радиус описанной вокруг окружности.
Пример. Рассмотрим конкретные данные. Пусть высота H равна 73 мм, a радиус описанной вокруг окружности 114 мм, подставив все в формулу получим следующий результат: b = √(H² + R²) = √(73² + 114²) = 135 мм. Боковое ребро (b) = 135 мм.
Почти все формулы пирамиды основываются на теореме Пифагора. Таким образом, можно вывести боковое ребро правильной треугольной пирамиды через высоту и радиус описанной окружности, опираясь на прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является искомой величиной. По одному из основных свойств правильной пирамиды, ее высота соединяет вершину с центрами окружностей, вписанных и описанных вокруг пирамиды. Так внутри формируются 2 треугольника с углом 90°. Один состоит из высоты, бокового ребра и соединяет их с радиусом описанной окружности, другой составляет высота и апофема, соединённые с радиусом вписанной окружности.
