logo
Регистрация
Вход

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, онлайн калькулятор

Площадь параллелограмма
Периметр параллелограмма
Угол между диагоналями параллелограмма
Калькулятор стороны параллелограмма
Калькулятор высоты параллелограмма
Калькулятор угла параллелограмма
Калькулятор периметра прямоугольника
Калькулятор площади прямоугольника
Калькулятор диагонали прямоугольника
Калькулятор стороны прямоугольника
Угол между диагоналями прямоугольника
Калькулятор периметра квадрата
Калькулятор площади квадрата
Калькулятор стороны квадрата
Ошибки и пожелания
vkontakte
odnoklassniki
twitter
mail

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является частным случаем и прямоугольника и ромба, поэтому все выявленные для параллелограмма зависимости справедливы для прямоугольника, квадрата и ромба.

На практике необходимость определения угла между диагоналями на основе прочих элементов может возникнуть, в частности, при необходимости производства построений на местности и для перепроверки уже проведенных построений.

Через площадь и диагонали

Рис 1

Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма следует воспользоваться формулой:

sin α = 2S/(Dd)

где α – острый угол между диагоналями, S – площадь параллелограмма, D и d – его диагонали.

Приведем пример расчета по формуле для наглядного случая, когда диагонали перпендикулярны, и площадь данного ромба равняется половине площади прямоугольника, в который данный ромб можно вписать.

При D = 20 мм, d = 10 мм, площадь описанного прямоугольника равна 20*10=200 мм², откуда S = 200/2=100 мм².

Вычисления дают sin α = 2S/(Dd) = 2*100/(20*10) = 1, откуда α = 90°. Известный факт – диагонали ромба перпендикулярны.

Через две стороны и диагонали

Рис 3

В предыдущей формуле угол определялся через диагонали и одну сторону, в данной задаче требуется определить угол по диагоналям и 2 сторонам. Тем самым, одно из условий является избыточным, и фигура по произвольным данным может не оказаться параллелограммом. Но для случая параллелограмма, т.е. взаимной увязки данных, формулы таковы:

cos α = (b2-a2)/(Dd), cos β = (a2-b2)/(Dd)

где a и b – стороны параллелограмма, α и β – углы между диагоналями (взаимно дополнительные до 180°).

Пример приведем по предыдущему случаю, остается только рассчитать недостающую сторону b, которая из простых соображений (воспользовавшись правилом длины катета против угла в 30°) оказывается равной 20 мм. Вычисляем: cos α = (b²-a²)/(Dd) = (20²-34,64²)/(40*40) = -0,5, откуда α = 120°.

Через диагонали и сторону

Рис 2

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону формула такова:

cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd)

где a – сторона параллелограмма, остальные обозначения прежние.

Здесь следует считаться с тем, что если в предыдущей задаче угол по условию являлся острым, в данной задаче он может быть и тупым, с отрицательным значением косинуса угла.

Пример расчета опять-таки по наглядному случаю, когда обе диагонали равны. Это прямоугольник с диагоналями D = 40 мм и d = 40 мм. При угле между диагоналями 120° половина диагонали составит 40/2 = 20 мм, половина высоты прямоугольника (она же – половина короткой стороны) составит половину от половины диагонали (в прямоугольном треугольнике противолежащий углу в 30° катет равен половине гипотенузы), т.е. 10 мм, откуда половина стороны параллелограмма составит √(20²-10²)=√300=17,32 мм, а сторона параллелограмма a = 2*17,32=34,64 мм.

Подставляем в формулу: cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd) = (40²+40²-4*34,642) = ‑1600/(2*40*40) = -0,5. Значению косинуса -0,5 соответствует угол 120°. Это же значение даст и калькулятор.

Квадрат достаточно задать одним элементом – стороной. Для задания прямоугольника необходимо задать уже две его смежные стороны; для ромба сторону и угол между сторонами. Для задания же параллелограмма необходимо задание 3 его взаимно независимых элементов. Это могут быть 2 смежные стороны и угол между ними, но возможно и иное задание.

В любом четырехугольнике можно провести 2 диагонали, и они также могут входить в набор элементов для задания фигуры. В данной статье приводятся справочные формулы для определения угла между диагоналями параллелограмма через другие его элементы. Рассчитать же этот угол для каждого из 3 рассматриваемых случаев позволят калькуляторы сайта, в которые необходимо ввести известные элементы, и в результате получить синус или косинус искомого угла либо сам угол в градусах или радианах.


© 2016-2022 / Tamali.net – сайт помощник в заполнении и печати бланков, форм и документов. Калькуляторы и конвертеры, различные инструменты.