Формулы и онлайн вычисление длин биссектрис в разных видах треугольников

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более наглядного примера: если угол равняется 120°, то проведённая биссектриса создаёт пару углов по 60°. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы – по одной из каждого угла. Точка пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса обладает особыми свойствами для некоторых видов треугольников: например, проведённая из вершины равнобедренного треугольника биссектриса является одновременно высотой и медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти биссектрису. Задача решается по формуле:

где «L» – длина биссектрисы, «b» и «c» – стороны треугольника, «α» – угол между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что сторона b = 6 см, сторона c = 9 см, угол между ними равен 65°. Подставив значения в формулу: L = 2 × 6 × 9 × cos(65/2) / (9 + 6) = 6 см.

Через все стороны

Чтобы найти длину биссектрисы треугольника при известном значении каждой стороны, используется формула:

где a, b, c – стороны треугольника.

Пример. Нам дан треугольник ABC, известна каждая его сторона: a = 10 см, b = 6 см, c = 8 см. Подставляем значения в формулу: L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 − 10))) / (6 + 8) = 4,8 см.

Через две стороны и отрезки

Если известны 2 стороны треугольника и длины отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону, используется формула:

где b, c – стороны, a₁, a₂ – длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник ABC с двумя сторонами 2 и 4 см и отрезками по 2 см. L = √(2 × 4 − 2 × 2) = √4 = 2 см.

В прямоугольном треугольнике через катеты

Если известно только значение катетов прямоугольного треугольника, длина биссектрисы находится по формуле:

где «L» – искомая биссектриса, «a» и «b» – катеты прямоугольного треугольника.

Пример. Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами 5,5 см и 6 см. L = √2 × (5,5 × 6 / (5,5 + 6)) ≈ 4,06 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула для нахождения биссектрисы через гипотенузу и угол использует синус и косинус:

где c – гипотенуза, α – острый угол.

Пример. Гипотенуза c = 10 мм, угол α = 30°: L = 2 * 10 / √2 * (sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30) ≈ 4,48 мм.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если дан катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используется формула:

где «b» – известный катет, β – острый угол.

Пример. Катет b = 9,7 см, угол β = 45°: L = 9,7 / cos(45/2) ≈ 10,5 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

где «b» – катет, «c» – гипотенуза.

Пример. Гипотенуза c = 8 см, катет b = 3,5 см: L = 8 × √(2 × 3,5 / (8 + 3,5)) ≈ 4 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании используется формула:

где b – боковая сторона, α – угол при основании.

Пример. Боковая сторона b = 12 см, угол при основании 60°: L = 12 * sin 60° ≈ 10,4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Для нахождения биссектрисы равнобедренного треугольника через основание и угол при основании применяется формула:

где a – основание, tg α – тангенс угла при основании.

Пример. Основание a = 12 см, угол α = 60°: L = 12 / 2 * tg(60°) ≈ 10,4 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Если известна боковая сторона и угол между боковыми сторонами, биссектриса находится по формуле:

где b – боковая сторона, β – угол между боковыми сторонами.

Пример. Боковая сторона b = 6,5 см, угол между боковыми сторонами 45°: L = 6,5 × cos(45/2) ≈ 6,005 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Если по условиям даны основание и боковая сторона равнобедренного треугольника, используется формула:

где b – боковая сторона, a – основание треугольника.

Пример. В равнобедренном треугольнике ABC основание a = 11 см, боковая сторона b = 9 см: L = √(9² − 11²/4) = √(81 − 30,25) = √50,75 ≈ 7,1 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используется формула:

где a – сторона треугольника.

Пример. Сторона равностороннего треугольника a = 5,8 см: L = 5,8 × √3 / 2 ≈ 5,02 см.

Решение задач по геометрии предусматривает детальное рассмотрение понятия биссектрисы и всех её свойств. Знание особенностей этого отрезка позволяет решать задачи высокого уровня. В данной публикации приведены примеры наиболее распространённых формул, используемых при вычислении длины биссектрисы в треугольнике.