Регистрация
Вход
Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по 60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.
Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:
где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между ними.
В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.
Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см. Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.
Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно руководствоваться следующей формулой:
где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.
Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 – длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.
Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно воспользоваться формулой ниже:
где a, b, c — стороны.
Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10 см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + 8) = 4,8 см.
Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.
где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.
Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.
Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а». Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а». Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов. Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c = 10 мм, угол α = 30 градусов, тогда биссектриса L = 2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.
В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:
где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного треугольника.
Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов, 5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.
Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:
где «b» — известный катет, а β — острый угол.
Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см., угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град. Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.
Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при основании можно воспользоваться данной формулой:
где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.
Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.
Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:
где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.
Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу, мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.
Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:
где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.
Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а» равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) = 10.4 см
Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям дано основание и боковая сторона:
где b и а — основание.
Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)). Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см. Это и есть длина биссектрисы.
Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:
где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.
Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см. Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.
Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу ниже:
где а является стороной треугольника.
Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02, это и есть значение длины биссектрисы.
Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.
В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной. Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.
