logo
Регистрация
Вход

Формулы и онлайн вычисление длин биссектрис в разных видах треугольников

Калькулятор периметра треугольника
Калькулятор площади треугольника
Калькулятор площади равнобедренного треугольника
Калькулятор площади прямоугольного треугольника
Калькулятор площади равностороннего треугольника
Калькулятор стороны равностороннего треугольника
Калькулятор средней линии треугольника
Калькулятор угла треугольника
Калькулятор длины биссектрисы треугольника
Калькулятор площади конуса
Калькулятор объема конуса
Ошибки и пожелания
vkontakte
odnoklassniki
twitter
mail

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по 60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Калькуляторы

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между ними.

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см. Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 – длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10 см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + 8) = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а». Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а». Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов. Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов, тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного треугольника.

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов, 5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см., угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град. Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу, мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а» равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) =  10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)). Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см. Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см. Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02, это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной. Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.


© 2016-2022 / Tamali.net – сайт помощник в заполнении и печати бланков, форм и документов. Калькуляторы и конвертеры, различные инструменты.