Регистрация
Вход
Прямоугольник – плоская четырёхугольная геометрическая фигура. Прямоугольник относится к параллелограммам и обладает некоторыми свойствами:
Острый угол (a) между диагоналями, зная площадь (S) и длину диагонали (d) легко можно вычислить по формуле:
где d — диагональ, S — площадь прямоугольника.
Через синус находится значение угла. По этой формуле также можно найти тупой угол между диагоналями, так как 2 данных угла являются смежными, а синусы смежных углов равны.
Пример. Дан прямоугольник, площадь которого равна 108 см², а диагональ – 15 см. Нужно найти острый угол между диагоналями. Необходимые значения подставляем в формулу sin a = (2 * S) / d² = (2 * 108) / 225 = 0,96. По значению синуса находится величина острого угла между диагоналями. В данном случае она равна 73,73°.
Величина нужного угла (α) в два раза больше угла (β) между стороной и диагональю по свойству углов равнобедренного треугольника, так как диагонали при пересечении образуют 4 равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании (b) равны, а нужный угол является смежным по отношению к углу при вершине (c), в таком случае c = 180 — α. Сумма углов треугольника равна 180°. Несложно составить уравнение β+β+180-α=180, которое легко сокращается до вида
где α — угол между стороной и диагональю.
Пример. Пусть угол α = 15 (он может быть от 0 до 90º), тогда β = 2 * α = 2 * 15 = 30º
Если в задаче неизвестна длина диагонали, не нужно тратить время на ее поиски. Можно быстро найти острый угол между диагоналями при помощи длины и ширины прямоугольника по формуле:
где b — ширина прямоугольника, a — длина прямоугольника.
Пример. Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Нужно построить диагонали и найти острый угол между ними. Угол α = 2 arctg 6 / 8 = 2 arctg 0,75=73,73°.
Значение нужного угла можно определить, зная длину диагонали и ширины (B) четырёхугольника, по формуле:
где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.
Пример. Рассмотрим применение формулы в конкретной задаче. Дан прямоугольник, ширина которого равна 3 мм, а длина диагонали – 5 мм. Необходимо найти острый угол между диагоналями. Применив данную формулу, находим значение нужного угла: a = 2 * arcsin 0,6 = 73,73°.
Если неизвестна ширина прямоугольника, но есть значение длины (a), можно также просто найти острый угол между диагоналями. Формула почти идентична предыдущей:
где a — длина прямоугольника, d — диагональ.
Пример. В прямоугольнике с длиной 8 см, в котором проведены диагонали длиной 10 см, найти острый угол между диагоналями. Угол α = 2arccos 8 / 10 = 2arccos 0,8 = 73,73°.
Для того чтобы быстро вычислить значение данного угла при помощи известной ширины и диагонали прямоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:
где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.
Пример. Известна ширина прямоугольника, она равна 8 мм. А длина диагонали равна 17
мм. Задача найти значение тупого угла между диагоналями.
Вставив данные в формулу, вы получите
правильный результат. Таким образом, β = 2 arccos 8 / 17 = 2 arccos 0,47 = 123,85°.
Можно, конечно, применить предыдущую формулу и найти острый угол через длину и диагональ, а потом вычесть значение из 180°. Но есть упрощенная формула для быстрой скорости решения: тупой угол между диагоналями
где a — длина прямоугольника, d — диагональ.
Пример. Дан прямоугольник с длиной равной 20 см, в котором проведены диагонали длиной 25 см. Чтобы найти нужную величину, подставляем значения в формулу: β = 2 arcsin 20 / 25 = 2 arcsin 0,8 = 106°.
Формула для определения тупого угла между диагоналями прямоугольника через известные значения длины и ширины такова:
где a — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
Пример. Дан прямоугольник со сторонами 15 см и 8 см. Вычислим значение тупого угла, подставив данные в формулу: β = 2arctg 15 / 8 = 2 arctg 0,5= 123,85°.
Стоит отметить, что при использовании указанных в статье правил нужно владеть знаниями о тригонометрических функциях. Для того чтобы быстро определять углы, образованные пересечением диагоналей прямоугольника, поможет именно данный список формул, которые необходимо знать наизусть. Если на решение задач по геометрии дается небольшой промежуток времени, к примеру, контрольная или экзамен, лучше отложить сложные алгоритмы и воспользоваться упрощенными формулами.
Параллелограмм относится к выпуклым четырехугольным геометрическим фигурам. Его основные отличительные признаки от других фигур: равные и попарно параллельные противоположные стороны, равные противолежащие углы. Диагонали фигуры всегда делятся точкой пересечения на равные отрезки, а также они делят параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Еще одним главным свойством четырёхугольника является то, что сумма квадратов диагоналей равна двум суммам квадратов смежных сторон параллелограмма.
Биссектрисы внутренних углов данного четырёхугольника всегда отсекают от него равнобедренный
треугольник, а также они равны между собой. Сумма углов параллелограмма равна 360°, как и у других
четырёхугольников.
К параллелограммам относятся: квадрат (четырёхугольник с равными сторонами и
равными прямыми внутренними углами), прямоугольники и ромбы (параллелограмм с равными сторонами).
Эти фигуры часто встречаются в школьной программе на уроках геометрии.
Для чего необходимо вычисление угла между диагоналями параллелограмма
Знание свойств геометрических фигур помогает справиться с задачей любой сложности. Постоянная практика с использованием формул способствует быстрому запоминанию информации, помогает проработать маршруты и теоремы, которые западают.
Прямоугольник часто встречается в решении задач по геометрии. Важно знать все его свойства и уметь пользоваться правилами и теоремами для успешного нахождения результата. Упрощенные формулы и несколько конкретных примеров помогут определить правильный алгоритм решения и быстро найти ответ.
