Онлайн-калькулятор для вычисления высоты треугольника

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота треугольника – отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений. Она является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах, например, для нахождения площади.

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, делённой на длину стороны, к которой она проведена.

Пример. Найдите высоту разностороннего треугольника, проведённую к стороне a, площадь которого равна 27 см, а длина стороны a составляет одну треть от площади. Решение: найдём сторону a. Так как известно, что она составляет треть от площади, a = 27 / 3 = 9 см. Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см.

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

где h – высота, a, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведённую к стороне a. Решение: P = a + b + c, значит c = P – a – b, то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / a. Сначала найдём полупериметр (p): p = P / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 – 6)(9 – 8)(9 – 4))) / 6 = √135 / 3 ≈ 2,12 см.

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

где a – длина стороны, sin α – синус прилежащего угла.

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен 30°, а длина стороны AB — 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов в треугольнике найдём угол CAH. ∠CAH = 180 – (∠ACH + ∠AHC). ∠CAH = 180 – 90 – 30 = 60°. sin 60° = 1/2. CH = AB * sin ∠CAH. CH = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ: 6 см.

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

где R – радиус описанной около треугольника окружности, b, c – стороны треугольника.

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из вершины между сторонами b и c проведена высота. Стороны b и c соответственно равны 5 см и 6 см. Найдите высоту. Решение: h = 5 * 6 / (2 * 3) = 30 / 6 = 5 см. Ответ: 5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков, образованных на гипотенузе, высоту можно найти по следующей формуле:

где C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. По теореме Пифагора найдём гипотенузу BC: BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол AHB равен 90°, так как AH является высотой. Сторона BH лежит напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике, значит, её длина равна половине гипотенузы: BH = 1/2 * AB = 1/2 * 4 = 2 см. HC = BC – BH = 5 – 2 = 3 см. По формуле: AH = √(BH * HC) = √(2 * 3) = √6 ≈ 2,4 см. Ответ: √6 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

где a – основание треугольника, b – боковая сторона.

Пример. В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона равна 8 см. Из вершины B к основанию AC проведена высота BH. Отрезок AH равен 5 см. Найдите высоту. Решение: так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 8 см; высота BH является и медианой, и биссектрисой. Значит, AH = HC, а AC = HC + AH = 5 + 5 = 10 см. По формуле: BH = √(AB² − AC² / 4) = √(64 − 100/4) = √39 ≈ 6 см. Ответ: √39 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту, проведённую к гипотенузе, по следующей формуле:

где a, b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45°. Длина стороны AC равна 6 см. Найти высоту AH. Решение: по теореме о сумме углов в треугольнике найдём угол ACB: ∠ACB = 180° – (45° + 90°) = 45°. Так как ∠BAC = ∠ACB, то треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Таким образом, AC = AB = 6 см. По теореме Пифагора: BC² = AB² + AC² = 6² + 6² = 72 см², BC = 6√2 см. Высота: AH = AB * AC / BC = 6 * 6 / (6√2) = 6 / √2 = 3√2 см. Ответ: 3√2 см.

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

где a – сторона треугольника.

Пример. Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона равна 4√3 см. Решение: h = a√3 / 2 = 4√3 * √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ: 6 см.

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

1. В остроугольном треугольнике высота находится внутри треугольника. Если треугольник при этом равнобедренный, то высота из вершины к основанию является одновременно биссектрисой и медианой.
2. В тупоугольном треугольнике высота выходит за его пределы, и для того чтобы её провести, понадобится сначала продлить сторону.
3. В прямоугольном треугольнике высота совпадает с одним из катетов, либо проводится внутри треугольника к гипотенузе.