logo
Регистрация
Вход

Онлайн-калькулятор для вычисления высоты треугольника

Калькулятор периметра треугольника
Калькулятор площади треугольника
Калькулятор площади равнобедренного треугольника
Калькулятор площади прямоугольного треугольника
Калькулятор площади равностороннего треугольника
Калькулятор стороны равностороннего треугольника
Калькулятор средней линии треугольника
Калькулятор высоты треугольника
Калькулятор угла треугольника
Калькулятор длины биссектрисы треугольника
Калькулятор площади конуса
Калькулятор объема конуса
Калькулятор объема прямого усечённого конуса
Ошибки и пожелания
vkontakte
odnoklassniki
twitter
mail

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений. Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах, например, для нахождения площади.

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а, площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см. Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2. Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим, найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен 30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ: 6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см. Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ: 5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚. Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС. Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC, значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту (АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН, является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см. Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚. Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ: 3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ: 6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

  1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.Рисунок 1
  2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.Рисунок 2
  3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.Рисунок 3

© 2016-2022 / Tamali.net – сайт помощник в заполнении и печати бланков, форм и документов. Калькуляторы и конвертеры, различные инструменты.