Найти диагональ трапеции

Диагональ выпуклого четырехугольника – это отрезок, соединяющий 2 противолежащие вершины. В зависимости от типа геометрической фигуры диагональ обладает особыми свойствами, которые необходимо знать и уметь применять на практике, так как большинство решений задач основывается именно на них. В данной статье рассмотрены пути определения диагоналей, проведенных в трапеции.

Основные свойства фигуры и проведенных диагоналей способствуют выведению сокращенных формул, которые помогут в решении задач по геометрии повышенного уровня. Рассмотрим несколько способов нахождения искомого отрезка.

Вычисление через нижнее основание, боковую сторону и угол между ними

Зная длину стороны, большего основания трапеции и противолежащий по отношению к диагонали угол, можно быстро найти результат благодаря формуле:

где c — сторона трапеции, a — основание, β – угол между ними.

Пример. В трапеции проведена диагональ, противолежащий к ней острый угол равен 75 градусам. Прилежащие к данному углу основание и сторона трапеции равны 6,1 и 7 см. Найти проведенный отрезок. D = √(6,1² + 7³ —  2 * 6,1 * 7 * cos75°) = 8 см – искомая величина.

Вычисление через известные длины четырех сторон трапеции

Допустим, что a, b – основания, c и d – боковые стороны. Значение диагонали с учетом этих данных легко можно найти, подставив их в формулу:

где a, b — основания, c, d — боковые стороны трапеции.

Пример. Дана трапеция с боковыми сторонами 6 и 5 см, основаниями 4 и 8 см. Нужно найти диагональ, которая лежит против угла. Применим данную формулу для решения: D = √(36 + 4 * 8 — 4(36 — 25) / (8 — 4)) = √(36 + 32 — 44 / 4) = 7,5 см – неизвестная диагональ.

Вычисление через высоту, нижнее основание и угол при нижнем основании

Зная длину проведенной в трапеции высоты к нижнему основанию, значение которого также известно, и один из двух углов при нижнем основании фигуры, можно найти диагональ, применив формулу:

где h — высота, a — нижнее основание, β – внутренний угол при основании.

Пример. К нижнему основанию трапеции равному 7 м проведена высота, длина которой 8 м. Известен угол между нижним основанием и боковой стороной — 71°. Найти диагональ, противолежащую известному углу. D = √(64 + (7 — 8 * ctg 71°)²) = 9 м – длина искомого отрезка.

Вычисление через высоту, верхнее основание и угол при нижнем основании

В данном случае не нужно тратить время на поиски нижнего основания трапеции, стоит воспользоваться формулой:

где b – длина верхнего основания трапеции.

Пример. К нижнему основанию трапеции проведена высота длиной 6 мм. Длина верхнего основания фигуры равна 4 мм, а внутренний угол — 71°. Найти: значение диагонали трапеции, проходящей через вершину известного угла. D = √(36 + (4 + 6 * ctg 71°)²) = 8,5 мм.

Вычисление через высоту, нижнее основание и боковую сторону

Если известна длина одной из боковых сторон, нижнее основание и высота, проведенная к нему, необходимо применить формулу:

где a – нижнее основание трапеции, c – боковая сторона, h — высота.

Пример. В трапеции проведена высота длиной 8 см к нижнему основанию длиной 7 см. Известно, что одна из боковых сторон равна 9 см. Найти: диагональ, противолежащую острому углу между нижним основанием и известной боковой стороной. D = √(49 + 81 — 14√81 — 64) = √(130 — 14√17) = √72,3 = 8,5 см – искомая величина.

Вычисление через высоту, основании и другую известную диагональ

Кроме данных о высоте, верхнем и нижнем основании, одной из диагоналей, необходимо значить величину углов, образующихся при пересечении диагоналей трапеции. Известно, что углы между отрезками считаются смежными, а значит их синусы равны. Таким образом, подставляем все данные в формулу:

где a, b – основания трапеции, α – острый или тупой угол между диагоналями, h — высота.

Пример. Дана трапеция с основаниями 15 и 5 мм. Проведена высота длиной 10 мм, а длина большей диагонали равна 20 мм. Найти: вторую диагональ, если известно, что угол при пересечении отрезков равен 60°. D = 20(15 + 5) / 20 * sin 60° = 20 / sin 60° = 11,54 мм.

Вычисление через площадь трапеции и другую известную диагональ

Здесь также понадобится значение угла между данными отрезками. Способ нахождения через известную площадь фигуры и другую диагональ имеет формулу вида:

где S – площадь, α – угол, d — известная диагональ

Пример. Дана трапеция площадью 87 мм² с диагональю длиной 14,7 мм. Как найти неизвестную диагональ, если угол между отрезками равен 65 градусам. D = 2 * 87 / 14,7 * sin 65° = 174 / 14,7 * sin 65° = 13 мм – искомая величина.

Вычисление через высоту, среднюю линию и другую известную диагональ

Средняя линия трапеции – это отрезок, проходящий через середины боковых сторон данного четырёхугольника. Через это значение искомая диагональ находится по формуле:

где буквой m обозначается средняя линия трапеции, h — высота, d — известная диагональ.

Пример. Диагонали трапеции, одна из которых равна 19 мм, пересекаются под углом 65 градусов. Проведена средняя, длина которой 8 мм, а высота трапеции равна 15,5 мм. Найти: вторую диагональ. D = 2 * 8 * 15,5 / 19 * sin 65° = 13 * sin 65° = 14,4 мм – длина неизвестной диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции через основания и боковую сторону

Равнобедренная трапеция – часто встречающийся вид данного четырёхугольника. Основными признаками равнобедренной фигуры служит равенство внутренних углов при основании, а также равенство диагоналей. Найти диагональ, проведенную в равнобедренной трапеции, можно несколькими способами. К примеру, вычислить искомую величину можно по формуле:

где c – известная боковая сторона, a и b – верхнее и нижнее основание трапеции.

Пример. Углы трапеции при основаниях, равных 8 и 18 см, имеют одинаковую градусную меру. Одна из боковых сторон равна 6 см. Найти: диагональ. Из равенства углов делаем вывод, что дана равнобедренная трапеция. Затем подставляем известные значения в формулу: D = √(36 + 8 * 18) = √180 = 13,4 см – длина диагоналей равнобедренной трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднюю линию

Зная длину высоты и отрезок, проходящий через середины сторон равнобедренной трапеции, можно легко найти искомую величину по формуле:

где буквой m обозначена средняя линия, а h — высота.

Пример. В трапеции проведена высота длиной 7 м, диагонали равны. Как найти диагонали, если известна длина средней линии – 9 м? Из равенства диагоналей можно сделать вывод, что трапеция равнобедренная. А значит, что для быстрого решения нужно воспользоваться выше указанной формулой: D = √(7² + 9²) = √(49+81) = √130 = 14,4 м – диагонали трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание

Формула нахождения искомого отрезка при помощи высоты и известных величин оснований имеет следующий вид:

где a и b – верхнее и нижнее основание равнобедренной трапеции, h — высота.

Пример. Дана равнобедренная трапеция, в которой к нижнему основанию проведена высота длиной 7 см. Основания – 5 и 11 см. Найти: диагонали. D = √(7² +(5² + 11²) / 4) = √(49 + 146 / 4) = √85,5 = 10,6 см – длина диагоналей.

Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол между диагоналями

Как уже говорилось, синусы углов, образованных пересечением диагоналей, равны, так как углы являются смежными. Поэтому для вычисления по следующей формуле, необходим любой из этих углов. Формула:

где S — площадь, sin α — угол между диагоналями.

Пример. Дана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 86 мм². Найти: длину диагоналей, один из углов при пересечении которых равен 120 градусам. D = √(2 * 86 / sin 120°) = √(172 / sin 120°) = 14 мм.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и сторону

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон расположена перпендикулярно основаниям (под углом 90°). Зная одно из оснований такого четырёхугольника и боковую сторону, можно легко найти диагональ, применив следующую формулу:

где a – основание, c — сторона.

Пример. Внутренний угол трапеции между боковой стороной и основаниями равен 90 градусам. Сторона равна 20 м, нижнее основание – 15 м. Найти: диагональ трапеции, противолежащую прямому углу. Исходя их известных данных, делаем вывод, что дана прямоугольная трапеция. Затем подставляем значения в формулу: D = √(20²+15²) = 25 м. Аналогичный способ решения можно применить для того случая, когда известна длина верхнего основания.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и высоту

В данном случае высота равна боковой стороне, перпендикулярной основанию, поэтому вместо стороны в формулу просто подставляется значение высоты при необходимости:

где a — основание, h — высота.

Пример. Дана прямоугольная трапеция с высотой равной 15 см и основанием — 10 см. Найти: диагональ. D = √(15² + 10²) = 18 см.

Трапеция – выпуклая плоская геометрическая фигура, которая представляет собой четырёхугольник. Обязательным условием данного вида является параллельность двух сторон (они называются основаниями). Как и упоминалось выше, в зависимости от боковых сторон трапеция может быть равнобедренной и прямоугольной.

Рассмотрим некоторые свойства четырёхугольника, знание которых необходимо для решения самых простейших задач:

• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям, M=(a+b)/2, где a и b – основания.
• На одной прямой лежат точки пересечения диагоналей и продолжения длин боковых сторон.

Диагональ, построенная в данной фигуре, отличается следующими свойствами:

• Диагонали разделяют фигуру на 2 подобных треугольника, углы которых равны, а стороны пропорциональны.
• Проведенные диагонали также образуют 2 идентичных треугольника, стороны которых совпадают со сторонами трапеции.
• Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий основания фигуры, делится в пропорции, равной соотношению оснований фигуры.
• Отрезок, проходящий через середины диагоналей, делит боковые стороны трапеции на 2 равные части.

В решении задач значение диагонали поможет определить немалое количество нужных величин: высота, площадь, периметр, все стороны и среднюю линию трапеции, внутренние углы. Хорошие навыки применения тригонометрических функций способствуют быстрой скорости решения по данных формулам, которые значительно облегчают и ускоряют процесс.