Как вычислить апофему правильной четырёхугольной пирамиды

Пирамидой в стереометрии называется объёмная фигура, образуемая многоугольником и расположенной вне его плоскости точкой. Эта точка соединена с точками в вершинах многоугольника отрезками, которые называются рёбрами пирамиды. Сам многоугольник — это основание пирамиды. При треугольном основании пирамида будет носить название треугольной, при четырёхугольном – четырёхугольной, и так далее.

Приведём варианты вычисления апофемы правильной четырёхугольной пирамиды в зависимости от исходных данных пространственной фигуры. Заданная пирамида обозначена SABCD, где S – вершина, а ABCD – вершины квадрата в основании.

Вычисление апофемы при известных значениях высоты пирамиды и ребра основания

Апофема пирамиды при известных значениях её высоты SO и стороны квадрата в основании AD=DC=BC=AB вычисляется по формуле гипотенузы для прямоугольного треугольника SOK. В этом треугольнике одним из катетов будет высота SO, вторым – половинное значение заданной стороны основания OK=1/2 AD. Значит: SK²= OK²+ SO² или SK= (1/2 AD) ²+ SO²) или

где H — высота, a — ребро основания.

Пример. Пусть высота SO = 4, а сторона основания AD = 6. Тогда апофема L находится следующим образом: L = √ (( 6 / 2)² + 4²) = 5

Вычисление апофемы при известном значении бокового ребра и ребра основания

При известном значении бокового ребра SD и стороны основания CD для нахождения апофемы SK также используется теорема Пифагора. В этом случае рассматривается прямоугольный треугольник SKD, гипотенузой которого выступает боковое ребро SD, одним из катетов – отрезок стороны основания DK, а вторым – апофема SK. Первый катет равен половине стороны квадрата в основании, поскольку апофема равнобедренного треугольника, коим является боковая грань пирамиды, является для него и медианой, делящей основание пополам: DK = 1/2 DC. Отсюда следует, что SD²= DK²+ SK², а SK²= SD²- DK² или, подставляя, получаем выражение: SK² = SD² — (1/2 DC)², откуда SK = √(SD² — (1/2 DC )²) или

где a — ребро основания, b — боковое ребро.

Пример. Пусть боковое ребро SD равно 5, а сторона основания – 6. Тогда, подставляя указанные числовые значения, вычисляем значение апофемы: SK = √(5² – (6 / 2)²) = 4.

Нахождение апофемы при заданной площади боковых поверхностей и известном ребре основания. Апофема при известной суммарной площади боковых поверхностей и значении ребра основания CD вычисляется достаточно просто. В основе расчёта лежит то, что площадь боковой поверхности пирамиды можно найти как произведение полупериметра основания на апофему: Sбок = p × L, где p — полупериметр основания, L — апофема. Следовательно: L = Sбок / p. Поскольку основание – это квадрат со стороной a, то его периметр равен 4a, а полупериметр — 2a. Таким образом: L = Sбок / (2a).

Апофема пирамиды – это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды. Апофема имеет большое значение при определении площади боковой поверхности пирамиды, так как является высотой для каждого треугольника боковой грани. Поскольку в задачах часто требуется вычислить апофему правильной пирамиды, в этой статье рассмотрены восемь способов вычисления апофемы правильной четырёхугольной пирамиды в зависимости от исходных данных на основании пирамиды. В зависимости от других исходных данных, апофема даёт возможность вычислить площадь боковой поверхности фигуры, её высоту, длину ребер и сторону основания.