Регистрация
Вход
Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны треугольника.
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть следующим образом:
где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.
Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6). Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6 / √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3). Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на квадратный корень из трех):
где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см.
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4 =h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3). Отсюда можно вывести формулу для нахождения стороны через высоту:
где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 * 45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см.
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую формулу
где а — сторона, S — площадь равностороннего треугольника.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a = √(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см.
Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:
где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол, который противоположен основанию.
Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см.
Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым, то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:
где b — боковая сторона, β — угол при основании.
Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см.
В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны, из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит он является равнобедренным. Это значит, что α = β.
Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми сторонами:
где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.
Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11 см.
Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет выглядеть следующим образом:
где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.
Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.
Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b = 35 / 2 * 0,5=35 мм.
Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть следующим образом:
где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.
Пример. Пусть гипотенуза с равна 77см, а острый угол 80º, тогда подставив в формулу значения получим следующее: a = 77 * 0,98 = 75,8см.
Если известен один катет и гипотенузу, то можно найти другой катет. Для этого необходимо воспользоваться формулой:
где c — гипотенуза, b — катет который известен прямоугольного треугольника.
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см: a = √(5² — 4)² = √(25 — 16) = √9 = 3 см
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол можно узнать по формуле:
где a — катет, β — острый угол прямоугольного треугольника.
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠β =60°: c = 4 / sin(60) = 4 / 0,87 = 8,04 см.
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b) можно рассчитать по формуле используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b² следовательно:
где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см: c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см
По стороне и двум углам или по двум сторонам и углу можно тоже вычислить длину стороны треугольника:
где a, b, c — стороны произвольного треугольника, α — угол между сторонами который известен.
Обязательно обратите внимание что при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение.
Пример. Пусть сторона с равна 10 см, сторона b — 7, угол α — 60 градусов. Таким образом
получим подставив в формулу:
a = 7² + 10² — 2 * 7 * 10 * cos 60 = 8,89 см.
Для нахождения стороны треугольника через известную сторону и два угла необходимо воспользоваться теоремой синусов и формула будут следующая:
где b — сторона треугольника; β, α — углы треугольника.
Пример. Пусть сторона треугольника b равна 10, угол β = 30º, угол α = 35º. Тогда получим подставив в формулу следующие значения: Сторона (a) = (10 * sin 35) / sin 30 = 8.71723 мм.
